题目内容
如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且| AB |
| n |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使
| OP |
| OQ |
考点：椭圆的应用
专题：
分析：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），由A（a，0）、B（0，b），知
=（-a，b），由
与
=（
，-1）共线，知a=
b，由此能求出椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程
+y2=1，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，故x1+x2=-
，x1x2=
，△=16k2m2-4×（2k2+1）（2m2-2）=16k2-8m2+8＞0，由此能求出实数m的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AB |
| AB |
| n |
| 2 |
| 2 |
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程
| x2 |
| 2 |
| 4km |
| 2k2+1 |
| 2m2-2 |
| 2k2+1 |
解答：
（Ⅰ）解：设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），则
∵A（a，0）、B（0，b），
∴
=（-a，b），
∵
与
=（
，-1）共线，
∴a=
b，
∵焦距为2，
∴c=1，
∴a2-b2=1，
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆E的标准方程
+y2=1；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
，
△=16k2m2-4×（2k2+1）（2m2-2）=16k2-8m2+8＞0（*）
∵
•
＜0，
∴x1x2+y1y2＜0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
，
∴
+
＜0，
∴m2＜
k2+
，
∴m2＜
且满足（*）
故实数m的取值范围是（-
，
）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵A（a，0）、B（0，b），
∴
| AB |
∵
| AB |
| n |
| 2 |
∴a=
| 2 |
∵焦距为2，
∴c=1，
∴a2-b2=1，
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆E的标准方程
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴x1+x2=-
| 4km |
| 2k2+1 |
| 2m2-2 |
| 2k2+1 |
△=16k2m2-4×（2k2+1）（2m2-2）=16k2-8m2+8＞0（*）
∵
| OP |
| OQ |
∴x1x2+y1y2＜0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
| m2-2k2 |
| 2k2+1 |
∴
| 2m2-2 |
| 2k2+1 |
| m2-2k2 |
| 2k2+1 |
∴m2＜
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴m2＜
| 2 |
| 3 |
故实数m的取值范围是（-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆参数方程的求法，考查实数的取值范围，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．属于中档题．
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正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB=3，BD=1，则
•
=（ ）
| AB |
| AD |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=
已知四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=
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