Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=

1

2

AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱锥的结构特征,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD⊥PC．
（Ⅱ）分别求出平面PAD的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PA⊥底面ABCD，
又∵∠BAD=90°，
∴AB、AD、AP两两垂直，
分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），
C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
∴

PC

=(1，1，-1)，

CD

=(-1，1，0)，
∴

PC

•

CD

=0，
∴CD⊥PC．
（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面PAD，
∴

AB

=(1，0，0)是平面PAD的一个法向量，
设平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

CD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，2，-1)，
∴

n • CD =-x+y=0 n • PD =2y-z=0

，
取x=1，得到

n

=（1，1，2），
设二面角A-PD-C的大小为θ，由图形知θ为锐角，
∴cosθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

1

6 ×1

|=

6

6

，
∴二面角A-PD-C的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查异面直线的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．