Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

3

2

．
（1）若点P（2，1）在椭圆上，求椭圆的方程；
（2）若存在过点A（1，0）的直线l，使点C（2，0）关于直线l的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

3

2

，点P（2，1）在椭圆上，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）求出C（2，0）关于直线l的对称点为C′的坐标，代入椭圆方程，可得b²k⁴+（2b²-4）k²+（b²-1）=0，设k²=t，因此原问题转化为关于t的方程b²t²+（2b²-4）t+（b²-1）=0有正根，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

3

2

，点P（2，1）在椭圆上，
∴

a2-b2 a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1

，
∴a²=8，b²=2，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：y=k（x-1）．
设点C（2，0）关于直线l的对称点为C′（a，b），则

b 2 =k( a+2 2 -1) b a-2 •k=-1

，
∴a=

2

k2+1

，b=

2k

k2+1

，
若点C′（a，b）在椭圆

x2

4b2

+

y2

b2

=1上，则

( 2 k2+1 )2

4b2

+

( 2k k2+1 )2

b2

=1，
∴b²k⁴+（2b²-4）k²+（b²-1）=0，
设k²=t，因此原问题转化为关于t的方程b²t²+（2b²-4）t+（b²-1）=0有正根．
①当b²-1＜0时，方程一定有正根；
②当b²-1≥0时，则有

(2b2-4)2-4b2(b2-1)≥0 2b2-4＜0

，
∴b²≤

4

3

∴综上得0＜b≤

2 3

3

．
又椭圆的焦距为2c=2

3

b，
∴0＜2c≤4．
故椭圆的焦距的取值范围是（0，4]

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查点与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．