Question

已知四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=

1

2

AB．Q是PC上的一点，且PA∥平面QBD．
（1）确定Q的位置；
（2）求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）当PQ=2QC时，PA∥平面QBD，再利用空间几何知识进行证明；
（2）设BC=1，以B为坐标原点，以BC，BA，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角Q-BD-C的平面角的余弦值．

解答： 解：（1）当PQ=2QC时，PA∥平面QBD，证明如下：
连结AC交BD于点M，
∵2CD=AB，CD∥AB，
∴AM=2MC
过PA的平面PAC∩平面QBD=MQ，
∵PA∥平面QBD，
∴AP∥MQ，
∴PQ=2QC．
（2）设BC=1，如图，以B为坐标原点，以BC，BA，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（其中点B与点O重合），则C（1，0，0），A（0，2，0），D（1，1，0），P（0，0，1）．
∵PQ=2QC，∴Q（

2

3

，0，

1

3

），
∴

BQ

=(

2

3

，0，

1

3

)，

DQ

=(-

1

3

，-1，

1

3

)，
设平而QBD的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1 • BQ = 2 3 x1+ 1 3 z1=0 n1 • DQ =- 1 3 x1-y1+ 1 3 z1=0

，
取x₁=1，得

n1

=(1，-1，-2)．
又平面CBD的一个法向量为

n2

=(0，0，1)，
设二面角Q-BD-C的平面角为θ，又θ为锐角
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-2

6 ×1

|=

6

3

．
∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值

6

3

．

点评：本题考查满足条件的点的确定，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．