Question

20．已知函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（Ⅰ）设$a=2，\;b=\frac{1}{2}$，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）设$a=\frac{1}{3}，\;b≥3$，函数g（x）=f（x）-2，已知b＞3时存在x₀∈（-1，0）使得g（x₀）＜0．若g（x）=0有且只有一个零点，求b的值．

Answer 1

分析 （I）直接解方程即可得出；
（II）对b=3和b＞3分情况讨论，利用零点存在性定理判断零点是否唯一．

解答 解：（Ⅰ）当$a=2，\;b=\frac{1}{2}$时，f（x）=2^x+2^-x=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，
令f（x）=2，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=2，∴（2^x）²-2×2^x+1=0，
即（2^x-1）²=0，∴2^x=1，
解得：x=0．
（Ⅱ）（1）当b=3时，g（x）=3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-2≥2-2=0，
当且仅当$\frac{1}{{3}^{x}}$=3^x即x=0时取等号，
∴x=0是g（x）的唯一的零点，符合题意．
（2）当b＞3时，$g（x）=f（x）-2={（\frac{1}{3}）^x}+{b^x}-2$，
显然x=0是g（x）的一个零点，
∵当b＞3时存在x₀∈（-1，0）使得g（x₀）＜0，且g（-2）＞0，
∴g（x）在（-2，x₀）必存在另一零点，
此时，g（x）存在2个零点，不符合题意．
综上可得b=3．

点评 本题考查了函数零点的存在性定理，函数零点的求解，属于中档题．