Question

15．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：

月份	7	8	9	10	11
销售单价x元	9	9.5	10	10.5	11
销售量y件	11	10	8	6	5

（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？
参考公式：回归直线方程$\widehat{y}$=b$\widehat{x}$+a，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．
参考数据：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=392，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=502.5．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程；
（2）根据回归方程，写出销售利润函数W，求出函数W的最大值即可．

解答 解：（1）因为$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（9+9.5+10+10.5+11）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（11+10+8+6+5）=8，
所以回归系数b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{392-5×10×8}{502.5-5{×10}^{2}}$=-3.2，
则a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=8-（-3.2）×10=40，
于是y关于x的回归直线方程为$\widehat{y}$=-3.2$\widehat{x}$+40；…（6分）
（2）令销售利润为W，则：
W=（x-2.5）（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100，其中（2.5＜x＜12.5）；…（9分）（x没范围扣1分）
当x=7.5时，W取得最大值为80；
所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大． …（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．