Question

某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试．测试规定：对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过．为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题．假设该选手答对每道题的概率均为

2

3

，且各题对错互不影响．
（Ⅰ）求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；
（Ⅱ）设在一次测试中该选手答题数位ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用独立重复试验概率计算公式能求出该选手恰好答题4道就通过的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为3，4，5，分别求出P（ξ=3），P（ξ=5），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道就通过的概率为：
p=

C

2 3

(

2

3

)3•

1

3

=

8

27

．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为3，4，5，
P（ξ=3）=(

1

3

)3+(

2

3

)3=

1

3

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

，
P（ξ=4）=1-

1

3

-

8

27

=

10

27

，
∴ξ的分布列为：

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．