Question

已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²（n∈N^*，n＞1）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3，求出f（x）导函数，然后代入求值；
（2）求出f（x）导函数后，构造设h（x）=x-2-lnx，判断h（x）的单调性，求出最值；
（3）要证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²（n∈N^*，n＞1），只要求出x+xlnx＞3x-3，问题就能解决．

解答： 解：（1）∵f（1）=1，
∴a=1，
∵f（x）=x-bxlnx，
∴f'（x）=1-b（1+lnx），
依题意f'（e）=1-b（1+lne）=3，
∴b=-1，
（2）由（1）知：f（x）=x+xlnx
当x＞1时，设g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，
则g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

设h（x）=x-2-lnx，
则h′(x)=1-

1

x

＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使h（x₀）=0，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上为减函数；
同理g（x）在（x₀，+∞）上为增函数，从而g（x）的最小值为g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0，
∴k＜x₀∈（3，4），k的最大值为3，
（3）由（2）知，当x＞1时，

f(x)

x-1

＞3，
∴f（x）＞3x-3，
即x+xlnx＞3x-3，
xlnx＞2x-3
∴2ln2+3ln3+…+nlnn＞（2×2-3）+（2×3-3）+…+（2n-3）=2（2+3+…+n）-3（n-1）=2×

(n-1)

2

(2+n)-3n+3=n²-2n+1=（n-1）²．

点评：本题主要考查了函数的极值和导数之间的关系，以及根的存在性定理的应用，综合性较强．