Question

已知抛物线y=

1

4

x²，焦点为F．
（1）若直线y=-x+4交抛物线于A、B两点，求证：OA⊥OB；
（2）若直线L过F交抛物线于M、N两点，求证∠MON为钝角．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线方程与抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），证明

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0即可；
（2）设直线L：y=kx+1，与抛物线方程联立，证明

OM

•

ON

＜0即可．

解答： 证明：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线与抛物线方程联立，消去y得x²-4x-16=0，
∴x₁x₂=-16，∴y₁y₂=16，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

OA

⊥

OB

，
∴OA⊥OB；
（2）由题意，F（0，1），设直线L：y=kx+1，
与抛物线方程联立，消去y得x²-4kx-4=0，
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
∴x₃x₄=-4，∴y₃y₄=1，
∴

OM

•

ON

=x₃x₄+y₃y₄=-4+1=-3＜0，
∴∠MON为钝角．

点评：考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理、向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．