Question

如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：GH∥平面ACD；
（Ⅱ）若AC=BC=BE=2，求二面角O-CE-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连结GO，OH，证明GO∥平面ACD，OH∥平面ACD，利用平面与平面平行的判定定理证明平面GOH∥平面ACD．然后证明GH∥平面ACD．
（Ⅱ）以CB为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出C，B，A（，O，E的坐标，平面BCE的法向量

m

，平面OCE的法向量

n

．二面角O-CE-B是锐二面角，记为θ，利用空间向量的数量积求解cosθ即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连结GO，OH
∵GO∥AD，OH∥AC…（2分）
∴GO∥平面ACD，OH∥平面ACD，又GO交HO于O…（.4分）
∴平面GOH∥平面ACD…（5分）
∴GH∥平面ACD…（6分）
（Ⅱ）以CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），O（1，1，0），E（2，0，2）
平面BCE的法向量

m

=（0，1，0），设平面OCE的法向量

n

=（x₀．y₀．z₀）．…（8分）

CE

=（2，0，2），

CO

=（1，1，0）．
∴

n • CE =0 n • CO =0

则

2x0+2z0=0 x0+y0=0

，
令x₀=-1，∴

n

=（-1，1，1）．…（10分）
∵二面角O-CE-B是锐二面角，记为θ，则
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

| m || n |

=

1

1× 3

=

3

3

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的证明，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．