Question

如图，己知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线y²=4

2

x的焦点恰好是该椭圆的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k≠0）的直线与x轴、椭圆顺次交于A（2，0）、M、N三点．求证∠NF₂F₁=∠MF₂A．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由抛物线y²=4

2

x可得焦点F₂(

2

，0)，为椭圆的一个顶点．可得a=

2

．又

c

a

=

2

2

，b²=a²-c²，即可得出．
（Ⅱ）由题意得，直线l的方程为y=k（x-2）且k≠0．与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．又F₂（1，0）．利用斜率计算公式与根与系数的关系只要证明kMF2+kNF2=0即可．

解答： （I）解：由抛物线y²=4

2

x可得焦点F₂(

2

，0)，为椭圆的一个顶点．
∴a=

2

．
∵

c

a

=

2

2

，∴c=1．b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：由题意得，直线l的方程为y=k（x-2）且k≠0．
联立

y=k(x-2) x2+2y2=2

，化为（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△＞0可得k2＜

1

2

，解得-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

．
又F₂（1，0）．
∴kMF2+kNF2
=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-2)

x1-1

+

k(x2-2)

x2-1

=

k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

(x1-1)(x2-1)

，
其分母=k×[

2(8k2-2)

1+2k2

-

3×8k2

1+2k2

+4]=k×

-4-8k2+4+8k2

1+2k2

=0，
∴kMF2+kNF2=0，
∴∠NF₂A+∠MF₂A=π．
∴∠NF₂F₁=∠MF₂A．

点评：本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、角相等转化为直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．