Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求证：若二面角M-BQ-C为30°，试求

PM

PC

的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN．证明MN∥PA．利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面MBQ．
（Ⅱ）以Q为原点建立空间直角坐标系． 求出平面BQC的法向量，平面MBQ法向量，利用二面角M-BQ-C为30°，求解

PM

PC

的值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连接AC，交BQ于N，连接MN．
∵BC∥AD且BC=

1

2

AD，即BC

∥ .

.

AQ．
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M是棱PC的中点，∴MN∥PA．
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，
∴PA∥平面MBQ  …（4分）
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．…（6分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为

n

=(0，0，1)； Q（0，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)．
则

PC

=(-1，

3

，-

3

)，

QP

=(0，0，

3

)．
设

PM

=t

PC

，(0≤t≤1)，
在平面MBQ中，

QB

=(0，

3

，0)，

QM

=

QP

+t

PC

=(-t，

3

t，

3

-

3

t)，…（8分）
∴平面MBQ法向量为

m

=(

3

-

3

t，0，t)…（10分）
∵二面角M-BQ-C为30°，cos30°=

| n • m |

| n || m |

=

|t|

( 3 - 3 t)2+0+t2

=

3

2

，
∴t1=

3

4

，t2=

3

2

（舍）
∴

PM

PC

=

3

4

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的应用，考查计算能力．