Question

12．如图所示，AB是圆O的直径，BC与圆O相切于B，∠ADC+∠DCO=180°
（Ⅰ）证明：∠BCO=∠DCO；
（Ⅱ）若⊙O半径为R，求AD•OC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OD，运用等腰三角形的性质和两直线平行的判定和性质，以及全等三角形的判定，可得△COB≌△COD，即可得证；
（Ⅱ）连接BD，运用直径所对圆周角为直角，结合相似三角形的判定，可得△ODC∽△ADB，运用对应边成比例，即可得到所求值．

解答 证明：（Ⅰ）连接OD，在等腰三角形ADO中，OA=OD，
∠ODA=∠OAD，
由∠ADC+∠DCO=180°，可得AD∥OC，
则∠COD=∠ODA，
∠COB=∠OAD，
则∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，
CO=CO，BO=DO，∠COB=∠COD，
可得△COB≌△COD，
即有∠BCO=∠DCO；
解：（Ⅱ）连接BD，则AD⊥BD，
由△COB≌△COD可得，∠ODC=90°，
由∠ODC=∠ADB，
∠COD=∠BAD，
则△ODC∽△ADB，
即有$\frac{OD}{AD}$=$\frac{OC}{AB}$，
即AD•OC=OD•AB=R•2R=2R²．

点评 本题考查圆的直径所对圆周角为直角，考查两直线平行的判定和性质，三角形全等或相似的判定和性质的运用，考查推理能力，属于中档题．