Question

17．（1）已知a＞0，函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0），证明：函数f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数；
（2）求函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+3）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，即可证明结论；
（2）利用复合函数的单调性求解，先将函数转化为两个基本函数，由同增异减的结论求解．

解答 证明：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，则1-$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
解得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$（舍）．
令f′（x）＜0，则1-$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，
解得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$．
∵x＞0，∴0＜x＜$\sqrt{a}$．
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上为减函数；在（$\sqrt{a}$，+∞）上为增函数，
也称为f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上为减函数；在[$\sqrt{a}$，+∞）上为增函数．
解：（2）令u=x²-4x+3，原函数可以看作y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$u与u=x²-4x+3的复合函数．
令u=x²-4x+3＞0．
则x＜1或x＞3．
∴函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+3）的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）．
又u=x²-4x+3的图象的对称轴为x=2，且开口向上，
∴u=x²-4x+3在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数．
而函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$u在（0，+∞）上是减函数，
∴y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-4x+3）的单调递减区间为（3，+∞），单调递增区间为（-∞，1）．

点评 本题主要利用导数证明函数的单调性，考查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域．