Question

14．设a、b∈R，且a≠1，若奇函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$在区间（-b，b）上有定义．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范围；
（3）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数便可得出$lg\frac{1-ax}{1-x}=-lg\frac{1+ax}{1+x}$，这样便可得出1-a²x²=1-x²，从而有a²=1，再根据a≠1即可得出a的值；
（2）求出a便得出$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，从而可求出该函数的定义域，进而求出b的取值范围；
（3）由f（x）＞0即可得出$lg\frac{1-x}{1+x}＞lg1$，这样便可建立关于x的不等式，解不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）f（x）为奇函数；
∴f（-x）=-f（x），即$lg\frac{1-ax}{1-x}=-lg\frac{1+ax}{1+x}$；?
即$\frac{1-ax}{1-x}=\frac{1+x}{1+ax}$，整理得：1-a²x²=1-x²；
∴a=±1；
又a≠1，故a=-1；
（2）f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$的定义域是（-1，1）；
∴0＜b≤1；
∴b的取值范围为（0，1]；
（3）f（x）=$lg\frac{1-x}{1+x}＞0=lg1$；
∴$\frac{1-x}{1+x}＞1$；
解得-1＜x＜0；
∴原不等式的解集为（-1，0）．

点评 考查奇函数的定义，多项式相等的充要条件，对数的真数满足大于0，以及对数函数的单调性，分式不等式的解法．