Question

7．设函数f （x）=2sinxcos²$\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π） 在x=π处取最小值．
（1）求φ的值；
（2）若f（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有两个解x₁，x₂，求m的取值范围，并求相应的x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（π）=-1求得φ值；
（2）由（1）求得f（x）的解析式，得到f（2x+$\frac{π}{3}$）的解析式并画出图形，数形结合得答案．

解答 解：（1）f （x）=2sinxcos²$\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx=（2cos²$\frac{φ}{2}$-1）sinx+cosxsinφ
=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）．
由f（π）=sin（π+φ）=-1，得φ=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）知f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
则f（2x+$\frac{π}{3}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
由f（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有两个解x₁，x₂，
得cos（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有两个解x₁，x₂，
∵x∈[0，π]，∴2x$+\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}，\frac{7π}{3}$]．
则cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]．
作出函数y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）的图象如图：
由图可知，满足f（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有两个解x₁，x₂的m的取值范围为（-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1），
当m∈（-1，$\frac{1}{2}$）时，x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
当m∈（$\frac{1}{2}$，1）时，x₁+x₂=$\frac{5π}{3}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，属中档题．