己知函数f(x)=-x3+x2+ax+b.g(x)=clnx.其中a.b.c为实数.若函数g(x)的图象恒过定点P.且函数f(x)的图象在点P处的切线与直线x-y-4=0垂直．(1)求实数a.b的值,=$\left\{\begin{array}{l}{f-c.x≥1}\end{array}\right.$①求函数F(x)在[-1.e](其中e为自然对数的底数)上的最大值,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．己知函数f（x）=-x³+x²+ax+b，g（x）=clnx，其中a，b，c为实数，若函数g（x）的图象恒过定点P，且函数f（x）的图象在点P处的切线与直线x-y-4=0垂直．
（1）求实数a、b的值；
（2）设F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＜1}\\{g（x）-c，x≥1}\end{array}\right.$
①求函数F（x）在[-1，e]（其中e为自然对数的底数）上的最大值；
②曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q．使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？若存在，求出实数c的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用函数g（x）图象恒过定点求出切线斜率，从而确定切点坐标，建立方程组，求出a、b的值；
（2）①根据分段函数，分类讨论，利用函数的单调性，即可求F（x）在[-1，e]上的最大值；
②根据分段函数，分类讨论，利用$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即可求实数c的取值范围．

解答解：（1）∵函数f（x）=-x³+x²+ax+b，∴f′（x）=-3x²+2x+a，
g（x）=clnx，
∴函数g（x）的图象恒过定点P（1，0），
当x=1时，f′（1）=-3+2+a=a-1，
又函数f（x）的图象在点P处的切线与直线x-y-4=0垂直，
∴a-1=-1，解得a=0；
又f（1）=-1+1+a+b=0，解得b=0；
（2）①由（1）知，f（x）=-x³+x²；
当x＜1时，F（x）=f（x），
且f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2）；
令f′（x）=0可得x=0或x=$\frac{2}{3}$，故函数在（-1，0）和（$\frac{2}{3}$，e）上单调递减，在（0，$\frac{2}{3}$）上单调递增；
∴x＜1时，f（x）的最大值为max{f（-1），f（$\frac{2}{3}$）}=f（-1）=2；
当1≤x≤e时，F（x）=g（x）=clnx-c，
若c≤0，则g（x）在[1，e]上是单调减函数，最大值是g（1）=-c；
若c＞0，则g（x）在[1，e]上单调递增，且g（e）=0；
综上，c≥-2时，F（x）在[-1，e]上的最大值为2；
c＜-2时，F（x）在[-1，e]上的最大值为-c；
②F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{3}{+x}^{2}，x＜1}\\{clnx-c，x≥1}\end{array}\right.$，
根据条件P，Q的横坐标互为相反数，不妨设P（-t，t³+t²），Q（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，则f（t）=-t³+t²，
由∠POQ是直角得，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此时无解；
若t≥1，则f（t）=clnt-c．
由于PQ的中点在y轴上，且∠POQ是直角，所以Q点不可能在x轴上，即t≠1．
同理由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即-t²+（t³+t²）•（clnt-c）=0，∴c=$\frac{1}{（t+1）（lnt-1）}$．
由于函数h（t）=$\frac{1}{（t+1）（lnt-1）}$（t＞1）的值域是（-1，0）∪（0，+∞），
所以实数c的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．