Question

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量P（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式为：P=

1

102400

x3-

3

80

x+a（0＜x≤120）．当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，每小时耗油

57

8

升．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知甲、乙两地相距100千米，汽油的价格是8元/升，司机每小时的工资是16元，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地的总费用最少？最少是多少元？．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先将x=40时，y=

57

8

代入解析式求出a的值；
（2）设速度为xkg/h，然后表示出运行的时间，再结合已知求出每小时费用，即可将总的费用表示出来得到一个关于x函数，再利用导数求该函数在（0，120]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）当 x=40时，汽车每小时耗油

1

102400

×403-

3

80

×40+a=a-

7

8

（升），
依题意得：a-

7

8

=

57

8

，解得a=8，所以实数a的值为8．
（Ⅱ）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

100

x

小时，
设从甲地到乙地的总费用为y=f（x）元，依题意得
f（x）=

100

x

[(

1

102400

x3-

3

80

x+8)×8+16]=

1

128

x2+

8000

x

-30(0＜x≤120)，
则f′(x)=

x

64

-

8000

x2

=

x3-803

64x2

(0＜x≤120)，
令f′（x）=0，得x=80，易知
当x∈（0，80）时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当x∈（80，120）时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．
所以当x=80时，f（x）取到极小值f（80）=120，
因为f（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的总费用最少，为120元．

点评：本题考查了导数在生活中的优化问题中的应用，要注意解题过程的规范性，特别是确定最值时的过程要规范．