Question

已知函数f（x）=-

2

sin(2x+

π

4

)+6sinxcosx-2cos2x+1．
（1）写出函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在区间[0，

π

2

]的最值以及取得最值时的相应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：将已知函数利用三角函数关系式以及倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后解答．

解答： 解：由已知，f（x）=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
所以（1）函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π；
对称轴方程为2x-

π

4

=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
（2）因为x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
所以f（x）=2

2

sin（2x-

π

4

）在x∈[0，

π

2

]的最大值为2

2

，此时2x-

π

4

=

π

2

，解得x=

3π

8

；最小值为-2，此时2x-

π

4

=-

π

4

，解得x=0；

点评：本题考查了三角函数的有关公式的运用化简三角函数式以及三角函数周期和最值的求法，属于中档题．