Question

已知f（x）=ax²-2ax+2+b=0（a≠0）在[2，3]上的最大值为5，最小值为2．
（1）求a，b的值；
（2）当b＞1时，f（x）＞-4x+m在[2，4]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意对a进行分类讨论，根据二次函数的性质和已知函数的最大和最小值，列方程组分别求得a和b．
（2）根据（1）求得函数f（x）的解析式，根据区间f（x）的最小值确定m的范围．

解答： 解：（1）根据题意知函数f（x）的对称轴为x=1，
①当a＞0时，函数的开口方向向上，在区间[2，3]上单调增，则有

f(2)=4a-4a+2+b=2 f(3)=9a-6a+2+b=5

，求得a=1，b=0，
②当a=0函数没有最大和最小值，不符合题意．
③当a＜0时，函数的开口方向向下，在区间[2，3]上单调减，则有

f(2)=4a-4a+2+b=5 f(3)=9a-6a+2+b=2

，求得a=-1，b=3．
（2）由（1）知，当b＞1时求得a=-1，b=3．
则函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+2x+5，在区间[2，4]上单调减，图象的最低点为（4，-3），
要使不等式恒成立需g（x）=-4x+m，在区间[2，4]上在点（4，-3）的下方，则有-16+m＜-3，
求得m＜13．

点评：本题主要考查了二次函数的性质．解题过程中对函数的对称轴，开口方向及区间的单调性灵活运用．