Question

已知圆．C：x²+y²-2x+4y-4=0
（1）已知直线l过点（ 3，1），若直线l与圆C：x²+y²-2x+4y-4=0有两个交点，求直线l斜率k的取值范围（理科）；
（2）是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB（为坐标原点）．若存在，求出直线m的方程； 若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由题意可得点M在圆的外部，由圆心（1，-2）到直线l的距离小于半径可得

|k+2+1-3k|

k2+1

＜3，由此求得k的范围．
（2）假设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，因为直线与圆相交，从而b²+6b-11＜0，由此能求出直线方程．

解答： 解：（1）由于圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，即（x-1）²+（y+2）² =9，表示以C（1，-2）为圆心，半径等于3的圆．
由于直线l过点M（ 3，1），MC=

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，大于半径，可得点M在圆的外部．
当直线l斜率k不存在时，直线l的方程为x=3，满足和圆有2个交点．
当直线l斜率k存在时，直线l的方程为y-1=k（x-3），即 kx-y+1-3k=0，
由圆心（1，-2）到直线l的距离小于半径可得

|k+2+1-3k|

k2+1

＜3，求得k＞0，或 k＜-

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5

．
（2）假设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
因为直线与圆相交，∴△＞0，即b²+6b-11＜0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-b-1，x₁•x₂=

b2+4b-4

2

．由OA，OB垂直，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
∴（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0，
∴b²+3b-4=0，解得b=-4，或b=1，均满足b²+6b-11＜0，
所求直线存在y=x-4或y=x+1．

点评：本题考查圆的标准方程、圆心坐标和半径的求法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，还考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于基础题．