Question

已知集合M={-1，2，-3，4，…[（-1）ⁿ]n}，n∈N⁺，将集合M的所有非空子集元素求和，将此和记为a_n，
（1）求数列{a_2n}的通项公式；
（2）另b_n=

a2n

2n-1n

+（-1）ⁿ⁺¹，求证：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

4

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,集合,不等式

分析：（1）由题意可知，集合中的元素出现的次数都是相等的，从而确定每个元素出现的次数，从而利用并项求和求数列{a_2n}的通项公式；
（2）由（1）代入b_n=

a2n

2n-1n

+（-1）ⁿ⁺¹化简，结合要证明的结论可知，要用到指数函数与幂函数的增长速度的相关知识，故结合形式可知，应用2ⁿ≥n²；重点是确定在那个地方放缩即可．

解答： 解：（1）若M={-1，2，-3，4，…[（-1）²ⁿ]2n}，
则集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的；
考查-1出现的次数，
可看成集合{2，-3，4，…[（-1）²ⁿ]2n}的子集个数，
故共有2^2n-1个-1，
故a_2n=2^2n-1（-1+2-3+4-5+6…-（2n-1）+2n）=n•2^2n-1，
即a_2n=n•2^2n-1．
（2）证明：b_n=

a2n

2n-1n

+（-1）ⁿ⁺¹=2ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹，
则b₁=2+1=3，b₂=4-1=3，b₃=8+1=9，
b₄=16-1=15，
故当n≥4时，b_n=2ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹≥n²-1；
故

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

3

+

1

3

+

1

9

+

1

15

+…+

1

2n+(-1)n+1

＜

1

3

+

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

52-1

+

1

62-1

+…+

1

n2-1

=

2

3

+

1

9

+

1

15

+

1

4

-

1

6

+

1

5

-

1

7

+…+

1

n-1

-

1

n+1

=

2

3

+

1

9

+

1

15

+

1

4

+

1

5

-

1

n

-

1

n+1

＜

2

3

+

1

9

+

1

15

+

1

4

+

1

5

＜

4

3

．

点评：本题考查了集合的子集，同时考查了数列与不等式，属于难题．