Question

已知圆心在第二象限内，半径为2

5

的圆O₁与x轴交于（-5，0）和（3，0）两点．
（1）求圆O₁的方程；
（2）求圆O₁的过点A（1，6）的切线方程；
（3）已知点N（9，2）在（2）中的切线上，过点A作O₁N的垂线，垂足为M，点H为线段AM上异于两个端点的动点，以点H为中点的弦与圆交于点B，C，过B，C两点分别作圆的切线，两切线交于点P，求直线PO₁的斜率与直线PN的斜率之积．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）由题知圆与x轴交于（-5，0）和（3，0），圆心可设为（-1，a），又半径为2

5

，由此能求出圆的方程．
（2）由题知，点A（1，6）在圆上，所以（1+1）x+（6-2）（y-2）=20，由此能求出圆的过A点的切线方程．
（3）由题知，P，B，O₁，C四点共圆，设点P坐标为（a，b），则P，B，O₁，C四点所在圆的方程为（x+1）（x-a）+（y-2）（y-b）=0，由此能求出直线PO₁的斜率与直线PN的斜率之积．

解答： 解：（1）由题知圆与x轴交于（-5，0）和（3，0），
所以圆心可设为（-1，a），又半径为2

5

，
则（3+1）²+b²=20，得b=2（-2舍），
所以圆的方程为（x+1）²+（y-2）²=20．…（4分）
（2）由题知，点A（1，6）在圆上，
所以（1+1）x+（6-2）（y-2）=20，
所以圆的过A点的切线方程为：x+2y=13．…（8分）
（3）由题知，P，B，O₁，C四点共圆，
设点P坐标为（a，b），
则P，B，O₁，C四点所在圆的方程为（x+1）（x-a）+（y-2）（y-b）=0，…（10分）
与圆（x+1）²+（y-2）²=20联立，
得直线BC的方程为（1+a）x+（b-2）y+a-2b-15=0，…（12分）
又直线AM的方程为x=1，联立两直线方程，
H点(1，

14+2b-2a

b-2

)，
所以kPO1=kHO1=

14+2b-2a b-2 -2

2

=

9-a

b-2

，
又kPN=

b-2

a-9

，
所以kPO1•kPN=-1．…（16分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查圆的切线方程的求法，考查两直线斜率之积的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．