题目内容
设函数y=f（x），x∈R，x≠0
（1）若a＞0且a≠1，f（logax）=x-
，求f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性．
（2）若f（x）=x+
，判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明．
（1）若a＞0且a≠1，f（logax）=x-
| 1 |
| x |
（2）若f（x）=x+
| 1 |
| x |
考点：奇偶性与单调性的综合,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）利用换元法即可求f（x）的解析式，根据函数奇偶性的定义即可并判断f（x）的奇偶性．
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
解答：
解：（1）令t=logax，则x=at，t∈R，
则函数等价为f（t）=at-a-t，
即f（x）=ax-a-x，
则f（-x）=a-x-ax=-（ax-a-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
证明：设1＜x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=x2+
-x1-
-x1=（x2-x1）+
=（x2-x1）•
，
∵1＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1x2-1＞0，
即f（x2）-f（x1）＞0，
则f（x2）＞f（x1）．
故函数在（1，+∞）单调增；
设设0＜x1＜x2＜1，
则f（x2）-f（x1）=x2+
-x1-
-x1=（x2-x1）+
=（x2-x1）•
，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x2-x1＞0，x1x2-1＜0，
即f（x2）-f（x1）＜0，
则f（x2）＜f（x1）．
故函数在（0，1）单调递减；
则函数等价为f（t）=at-a-t，
即f（x）=ax-a-x，
则f（-x）=a-x-ax=-（ax-a-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
证明：设1＜x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=x2+
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| x1-x2 |
| x1x2 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵1＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1x2-1＞0，
即f（x2）-f（x1）＞0，
则f（x2）＞f（x1）．
故函数在（1，+∞）单调增；
设设0＜x1＜x2＜1，
则f（x2）-f（x1）=x2+
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| x1-x2 |
| x1x2 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x2-x1＞0，x1x2-1＜0，
即f（x2）-f（x1）＜0，
则f（x2）＜f（x1）．
故函数在（0，1）单调递减；
点评：本题主要考查函数奇偶性，单调性的判断和证明，综合考查函数的性质．
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