Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值-

4

3

，
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）若

1

3

x³+ax+b≤m²+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立，求实数m的取值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），根据f（x）在x=2处取得极小值得到：

f′(2)=0 f(2)=- 4 3

，这样即可求出a，b；
（2）只要使

1

3

x3-4x+4的最大值小于等于m2+m+

10

3

，所以求出这个最大值即可求得m的取值．

解答： 解：（1）f′（x）=x²+a，由已知条件得：

4+a=0 8 3 +2a+b=- 4 3

，解得a=-4，b=4；
令f′（x）=x²-4＞0，得x＜-2，或x＞2；
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（2）要使

1

3

x3-4x+4≤m2+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立，只要使fmax(x)≤m2+m+

10

3

；
由（1）知f（x）在（-2，2）上是减函数，在[-4，-2]及[2，3]上是增函数，且f(-2)=

28

3

，f(3)=1
∴f（x）在[-4，3]上的最大值是

28

3

；
∴m2+m+

10

3

≥

28

3

，解得m≤-3，或m≥2．
即：m的取值为：m≤-3，或m≥2．

点评：考查极值的概念，根据导数求函数极值，进而求最值的方法及解一元二次不等式．