Question

设函数f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）写出a=0的f（x），求出导数，注意x＞0，分别令导数大于0，小于0，从而确定极值；
（Ⅱ）求出导数，并因式分解成

1

x2

（2x-1）（ax+1），讨论a＞0，a＜0分a=-2，a＞-2，a＜-2三种情况，求出单调区间，应注意x＞0．

解答： 解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=2lnx+

1

x

（x＞0），
∴f′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，
f′（x）＞0，得x＞

1

2

；f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
则x=

1

2

是极小值点，且f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（Ⅱ）当a≠0时，f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a（x＞0）
=

1

x2

（2x-1）（ax+1），
当a＞0时，f′（x）＞0，得x＞

1

2

；f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
当a＜0时，①a=-2，f′（x）≤0，在x＞0恒成立；
②a＜-2，f′（x）＜0，得x＞

1

2

或0＜x＜-

1

a

；f′（x）＞0，得-

1

a

＜x＜

1

2

，
③-2＜a＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

；f′（x）＞0，得

1

2

＜x＜-

1

a

．
综上，可得当a＞0时，f（x）的增区间为（

1

2

，+∞），减区间为（0，

1

2

），
当a=-2时，只有减区间（0，+∞），
当a＜-2时，增区间为（-

1

a

，

1

2

），减区间为（

1

2

，+∞），（0，-

1

a

），
当-2＜a＜0时，增区间为（

1

2

，-

1

a

），减区间为（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞）．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间，求极值，特别注意函数的定义域，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．