Question

已知向量

m

=(cos

x

2

，-1)，

n

=(

3

sin

x

2

，cos2

x

2

)，设函数f(x)=

m

•

n

（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的零点；
（Ⅱ）若角B是△ABC中的最小内角，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数零点的判定定理

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，化简f（x），再令f（x）=0，解方程即可得到所求零点；
（Ⅱ）求出B的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到f（B）的范围．

解答： 解：由向量

m

=(cos

x

2

，-1)，

n

=(

3

sin

x

2

，cos2

x

2

)，
函数f(x)=

m

•

n

．
则f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos2

x

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx-

1

2

=sin(x-

π

6

)-

1

2

，
（Ⅰ）由f（x）=0，得sin(x-

π

6

)=

1

2

．
∴x-

π

6

=

π

6

+2kπ，或x-

π

6

=

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴x=

π

3

+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，
又x∈[0，π]，∴x=

π

3

或π．
所以f（x）在区间[0，π]上的零点是

π

3

、π．     
       
（Ⅱ）由已知得B∈(0，

π

3

]，从而B-

π

6

∈(-

π

6

，

π

6

]，
∴sin(B-

π

6

)∈(-

1

2

，

1

2

]，
∴f(B)=sin(B-

π

6

)+

1

2

∈(-1，0]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查函数和方程的关系，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．