Question

已知数列{a_n}是等差数列，首项a₁=2，公差为d（d≠0）且a₁，a₃，a₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求数列={a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=2，设公差为d，由a₁，a₃，a₁₁成等比数列．
得（2+2d）²=2×（2+10d），
解得d=0（舍去）或d=3，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-1．
（Ⅱ）由（I）可得：bn=

3n-1

2n

，
Tn=

2

21

+

5

22

+

8

23

+…+

3n-4

2n-1

+

3n-1

2n

?，

1

2

Tn=

2

22

+

5

23

+…+

3n-4

2n

+

3n-1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=1+

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

-

3n-1

2n+1

=1+3×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n+1

=1+

3

2

-

5+3n

2n+1

，
∴T_n=5-

5+3n

2n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．