Question

已知f（x）=

x

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数．
（1）证明f（-x）=-f（x）；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是定义域上的增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求f（-x）即可得到f（-x）=-f（x）；
（2）设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，根据单调性的定义证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答： 证：（1）f（-x）=

-x

1+x2

=-f(x)，即f（-x）=-f（x）；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则：
f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(1+x12)(1+x22)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是（-1，1）上的增函数．

点评：考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义证明函数的单调性．