Question

已知数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

（n≥1），求证：a_n≤e²．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：利用数学归纳法推导出n≥2时a_n≥2，从而a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

≤（1+

1

n2+n

+

1

2n

）a_n（n≥1），两边取对数，得lna_n+1-lna_n≤

1

n(n+1)

+

1

2n

（n≥1）．再利用累加法得lna_n＜2，由此能证明a_n＜e²．

解答： 证明：①当n=2时，a₂=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2（k≥2），
那么a_k+1=（1+

1

k(k+1)

）a_k+

1

2k

≥2．
这就是说，当n=k+1时不等式成立．
根据①，②知：a_k≥2对所有n≥2成立．即a_n≥2．
由递推公式及a_n≥2，得a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

≤（1+

1

n2+n

+

1

2n

）a_n（n≥1）
两边取对数并利用已知不等式得：
lna_n+1≤ln（1+

1

n2+n

+

1

2n

）+lna_n≤lna_n+

1

n2+n

+

1

2n

，
故lna_n+1-lna_n≤

1

n(n+1)

+

1

2n

（n≥1）．
上式从1到n-1求和可得lna_n-lna₁≤

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

2

•

1- 1 2n

1- 1 2

=1-

1

n

+1-

1

2n

＜2
即lna_n＜2，故a_n＜e²（n≥1）．

点评：本题考查不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，考题时要注意数学归纳法、累加法的合理运用．