Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有共同的焦点F，P为抛物线与双曲线的一个交点，且∠PFO=

π

3

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  6

  +2
• B、

  7

  +2
• C、

  3

  +1
• D、

  3

  +2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：F(

p

2

，0)，

p

2

=c．由∠PFO=

π

3

，可得k_PF=tan

2π

3

=-

3

，直线PF的方程为：y=-

3

(x-

p

2

)．与抛物线方程联立可得12x²-20px+3p²=0，解得x=

p

6

，代入y²=2px，可得P(

p

6

，

3

3

p)即P(

1

3

c，

2 3

3

c)．代入双曲线方程可得：

c2

9a2

-

4c2

3b2

=1，又b²=c²-a²，解出即可．

解答： 解：F(

p

2

，0)，

p

2

=c．
∵∠PFO=

π

3

，∴k_PF=tan

2π

3

=-

3

，
∴直线PF的方程为：y=-

3

(x-

p

2

)．
联立

y=- 3 (x- p 2 ) y2=2px

，化为12x²-20px+3p²=0，
解得x=

p

6

，或

3

2

p（舍去）．
代入y²=2px，取y=

3

3

p，
∴P(

p

6

，

3

3

p)即P(

1

3

c，

2 3

3

c)．
代入双曲线方程可得：

c2

9a2

-

4c2

3b2

=1，又b²=c²-a²，
化为e⁴-22e²+9=0，
解得e2=11+2

28

，
∴e=2+

7

．
故选：B．

点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立解出坐标，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．