Question

已知函数f（x）=ax-a（a≠0），g（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，若不等式f（x）≥kg（x）恒成立，求实数k的最大值；
（2）若方程f（x）+g（x）=0没有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）不等式f（x）≥kg（x）恒成立可化为k≤

-x+1

ex

恒成立；令F（x）=

-x+1

ex

，求导确定函数的最小值，从而求实数k的最大值；
（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为g（x）=e^x的图象与y=-f（x）=-a（x-1）的图象没有交点；结合图象求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得，-x+1≥ke^x恒成立，
即k≤

-x+1

ex

恒成立；
令F（x）=

-x+1

ex

，
则F′（x）=

x-2

ex

；
故F（x）=

-x+1

ex

在（-∞，2）上是减函数，
在[2，+∞）上是增函数，
故F（x）≥F（2）=-e^-2；
故实数k的最大值为-e^-2；
（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为
g（x）=e^x的图象与y=-f（x）=-a（x-1）的图象没有交点；
作g（x）=e^x与y=-f（x）=-a（x-1）的图象如右图，
设g（x）=e^x与y=-f（x）=-a（x-1）相切于点（x，e^x）；
则e^x=

ex-0

x-1

，解得x=2；
则结合图象可知，
故0＜-a＜e²；
故-e²＜a＜0．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及数形结合的思想，属于难题．