Question

在平面直角坐标系中，已知动点M（x，y），点A（0，1），B（0，-1），D（1，0），点N与点M关于直线y=x对称，且

AN

•

BN

=

1

2

x2．直线l是过点D的任意一条直线．
（1）求动点M所在曲线C的轨迹方程；
（2）设直线l与曲线C交于G、H两点，且|GH|=

3 2

2

，求直线l的方程；
（3）（理科）若直线l与曲线C交于G、H两点，与线段AB交于点P（点P不同于点O、A、B），直线GB与直线HA交于点Q，求证：

OP

•

OQ

是定值．
（文科） 设直线l与曲线C交于G、H两点，求以|GH|的长为直径且经过坐标原点O的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由点N与点M关于直线y=x对称，可得N（y，x）．利用数量积运算

AN

•

BN

=

1

2

x2，即可得出；
（2）假设l⊥x轴，则直线与l的交点为（1，±

2

2

），直接验证即可；可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．
（3）（理科）由直线l的方程：y=k（x-1），令x=0，可得P（0，-k）．直线AH的方程为y=

y2-1

x2

x+1，直线GB的方程为：y=

y1+1

x1

x-1．联立解得Q(

2x1x2

k(x1-x2)+(x1+x2)

，

2kx1x2-k(x1+x2)+x2-x1

k(x1-x2)+(x1+x2)

)．利用根与系数的关系可得：

OP

•

OQ

=1为定值．
（3）（文科）若以|GH|的长为直径的圆经过坐标原点O，利用数量积运算

OG

•

OH

=0解出k．圆心的横坐标=

x1+x2

2

=

2

3

，纵坐标=±

1

3

，可得圆心(

2

3

，±

1

3

)．半径r²=(

2

3

)2+(-

1

3

)2=

5

9

．即可得出．

解答： 解：（1）∵点N与点M关于直线y=x对称，∴N（y，x）．
∵

AN

•

BN

=

1

2

x2，∴（y，x-1）•（y，x+1）=

1

2

x2，
∴y2+x2-1=

1

2

x2，化为

x2

2

+y2=1．
∴动点M所在曲线C的轨迹方程为

x2

2

+y2=1．
（2）假设l⊥x轴，则直线与l的交点为（1，±

2

2

），此时|GH|=

2

，不满足要求，舍去；
可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-1) x2+2y2=2

，化为（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

．
∴|GH|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 2 (1+k2)

1+2k2

=

3 2

2

，
解得k=±

2

2

．
∴直线l的方程为y=±

2

2

(x-1)．
（3）（理科）证明：由直线l的方程：y=k（x-1），令x=0，解得y=-k，∴P（0，-k）．
直线AH的方程为：y=

y2-1

x2

x+1，
直线GB的方程为：y=

y1+1

x1

x-1．
联立

y= y2-1 x2 x+1 y= y1+1 x1 x-1

，解得Q(

2x1x2

k(x1-x2)+(x1+x2)

，

2kx1x2-k(x1+x2)+x2-x1

k(x1-x2)+(x1+x2)

)．
利用根与系数的关系可得：

OP

•

OQ

=

-k[ 4k(k2-1) 1+2k2 - 4k3 1+2k2 +(x2-x1)]

k(x1-x2)+ 4k2 1+2k2

=1为定值．
（文科）解：若以|GH|的长为直径的圆经过坐标原点O，
则

OG

•

OH

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0，
由（2）可得

(1+k2)(2k2-2)

1+2k2

-

4k4

1+2k2

+k²=0，
化为k²=1，解得k=±1．
∴直线l的方程为：y=±（x-1）．
∴圆心的横坐标=

x1+x2

2

=

2

3

，纵坐标=±

1

3

，可得圆心(

2

3

，±

1

3

)．
半径r²=(

2

3

)2+(-

1

3

)2=

5

9

．
∴圆的方程为：(x-

2

3

)2+(y±

1

3

)2=

5

9

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切相交问题转化为方程联立可得及根与系数的关系、弦长公式、向量垂直与数量积的关系、直线的交点、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．