Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）在f（x）的图象上时，（

x

3

，

y

2

）在y=g（x）图象上，求F（x）=g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：令

x

3

=a，

y

2

=b，由题设条件知，再由（a，b）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式．再根据基本不等式即可求出g（x）-f（x）的最大值．

解答： 解：令（a，b）点是函数y=g（x）的图象上的点，
则a=

x

3

，b=

1

2

y，则x=3a，y=2b，
∵点（x，y）在函数y=f（x）的图象上
∴（x，y）满足函数f（x）=log₂（x+1），
即2b=log₂（3a+1），
即b=log₂

3a+1

，
故函数y=g（x）=log₂

3x+1

，x＞-

1

3

，
∴F（x）=g（x）-f（x）=log₂

3x+1

-log₂（x+1）=log₂

3x+1

x+1

=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log₂

9

2(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log₂

9

8

=log₂3-

3

2

，当且仅当3x+1=2时，即 x=

1

3

时等号成立，
∴F（x）=g（x）-f（x）的最大值为log₂3-

3

2

．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，的关键是根据基本不等式，求出真数部分的最大值，进而根据对数函数的单调性，得到y=g（x）-f（x）的最大值．