Question

已知定义在R内的函数f（x）满足下列条件：
①对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；
②当x＞0时，恒有f（x）＞

1

2

．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）在区间（0，+∞）内是单调增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件①可令x＞0，y=0，再由条件②，即可得到f（0）；
（2）设0＜x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，当x＞0时，恒有f（x）＞

1

2

，即有f（x₂-x₁）＞

1

2

，又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]，由条件①②，结合单调性的定义，即可得证．

解答： （1）解：由于对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y），
令x＞0，y=0，则f（x）=2f（x）f（0），
由于当x＞0时，恒有f（x）＞

1

2

，
则f（0）=

1

2

；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
当x＞0时，恒有f（x）＞

1

2

，
即有f（x₂-x₁）＞

1

2

，
则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=2f（x₂-x₁）f（x₁）＞2×

1

2

f（x₁），
即有f（x₂）＞f（x₁），
则f（x）在区间（0，+∞）内是单调增函数．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性的判断，注意运用定义，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．