Question

已知f（x）=cos2x+4sinx，求：
（1）f(-

π

4

)的值；
（2）f（x）的最大值以及取得最大值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：展开二倍角的余弦，得到f（x）=-2sin²x+4sinx+1．
（1）直接取x=-

π

4

求f(-

π

4

)的值；
（2）利用配方法配方，求得f（x）的最大值并求得f（x）取得最大值时x的值．

解答： 解：f（x）=cos2x+4sinx
=1-2sin²x+4sinx
=-2sin²x+4sinx+1．
（1）f(-

π

4

)=-2sin2(-

π

4

)+4sin(-

π

4

)+1
=-2×

1

2

-4×

2

2

+1=-2

2

；
（2）f（x）=-2sin²x+4sinx+1=-2（sinx-1）²+3．
当sinx=1，即x=

π

2

+2kπ，k∈Z时函数取得最大值3．

点评：本题考查了三角函数中恒等变换应用，考查了配方法求函数的最值，是中档题．