Question

已知关于x的方程ax²-4ax+1=0的两个实根α，β满足不等式|lgα-lgβ|≤1，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用韦达定理和判别式大于0，以及对数函数的单调性，解不等式，再令t=

α

β

，解出β=

4

1+t

，α=

4t

1+t

，

1

a

=

16t

(t+1)2

=

16

t+ 1 t +2

，再由基本不等式，即可得到a的范围．

解答： 解：由题意可得，α，β＞0，a≠0，
则△=16a²-4a≥0，α+β=4，αβ=

1

a

＞0，
不等式|lgα-lgβ|≤1即为-1≤lg

α

β

≤1，
即有

1

10

≤

α

β

≤10，
令t=

α

β

，即有α=βt，则β=

4

1+t

，α=

4t

1+t

，

1

a

=

16t

(t+1)2

=

16

t+ 1 t +2

，
由于

1

10

≤t≤10，则t+

1

t

∈[2，

101

10

]，
则

1

a

∈[

160

121

，4]，即有

1

4

≤a≤

121

160

，
满足判别式大于0，成立．
故答案为：[

1

4

，

121

160

]．

点评：本题考查二次方程的韦达定理和对数函数的单调性及运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．