题目内容
在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（3，0）作直线l，直线l依次交曲线C于不同两点E、F，设
=λ
，求实数λ的取值范围．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（3，0）作直线l，直线l依次交曲线C于不同两点E、F，设
| DE |
| DF |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，利用椭圆的定义，可求点求曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出λ+
，即可求实数λ的取值范围．
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出λ+
| 1 |
| λ |
解答：
解：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，
所以点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴为4的椭圆，2a=4，2c=2，
所以a=2，c=1，所以b=
，
所以Q点的轨迹方程为
+
=1；
（Ⅱ）若直线l为y=0，则E（2，0），F（-2，0），
=（-1，0），
=（-5，0），
∵
=λ
，
∴λ=
；
若直线l：x=my+3，设E（x1，y1），F（x2，y2），
直线代入椭圆方程得（3x2+4）y+18my+15=0，
由△＞0可得m2＞
，
由韦达定理可得y1+y2=-
，y1y2=-
，
∵
=λ
，
∴λ=
，
∴λ+
=
-2=
-2=
-
，
∴2＜λ+
＜
，
∴
＜λ＜1，
综上所述，实数λ的取值范围是[
，1）．
所以点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴为4的椭圆，2a=4，2c=2，
所以a=2，c=1，所以b=
| 3 |
所以Q点的轨迹方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）若直线l为y=0，则E（2，0），F（-2，0），
| DE |
| DF |
∵
| DE |
| DF |
∴λ=
| 1 |
| 5 |
若直线l：x=my+3，设E（x1，y1），F（x2，y2），
直线代入椭圆方程得（3x2+4）y+18my+15=0，
由△＞0可得m2＞
| 5 |
| 3 |
由韦达定理可得y1+y2=-
| 18m |
| 3m2+4 |
| 15 |
| 3m2+4 |
∵
| DE |
| DF |
∴λ=
| y1 |
| y2 |
∴λ+
| 1 |
| λ |
| (y1+y2)2 |
| y1y2 |
| 108m2 |
| 5(3m2+4) |
| 26 |
| 5 |
| 144 |
| 15m2+20 |
∴2＜λ+
| 1 |
| λ |
| 26 |
| 5 |
∴
| 1 |
| 5 |
综上所述，实数λ的取值范围是[
| 1 |
| 5 |
点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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