Question

已知函数f（x）=e^x+x²-x，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）+f（x₂）|≤k恒成立，则k的取值范围为

 

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Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：f′（x）=e^x+2x-1，x∈[-1，1]．令g（x）=e^x+2x-1，利用导数研究函数的单调性极值与最值．对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）+f（x₂）|≤k恒成立?|2f（x）|_max≤k，x∈[-1，1]．

解答： 解：f′（x）=e^x+2x-1，x∈[-1，1]．
令g（x）=e^x+2x-1，
则g′（x）=e^x+2＞0，x∈[-1，1]．
∴g（x）在x∈[-1，1]单调递增．
g（-1）=e^-1-3＜0，g（1）=e+1＞0．
而g（0）=0．
∴当x∈[-1，0）时，函数g（x）单调递减；当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递增．
∴当x=0时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（0）=0．
∴f′（x）≥0，
∴函数f（x）在x∈[-1，1]单调递增．
f（-1）=2-e^-1，f（1）=e．
∴对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）+f（x₂）|≤k恒成立?|2f（x）|_max≤k，x∈[-1，1]．
∴k≥2e．
∴k的取值范围为[2e，+∞）．
故答案为：[2e，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．