Question

如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M，N分别是线段AC和BF上的点，且AM=FN，则线段MN的长的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：设AM=FN=a（0≤a≤2

2

），则MP=

2

2

a，PN=2-

2

2

a，由余弦定理，表示出MN，即可得出结论．

解答： 解：过M作MP⊥AB，垂足为P，连接PN，则∠MPN=60°
设AM=FN=a（0≤a≤2

2

），则MP=

2

2

a，PN=2-

2

2

a．
由余弦定理知：MN²=（

2

2

a）²+（2-

2

2

a）²-2×

2

2

a×（2-

2

2

a）×

1

2

=

3

2

(a-

2

)2+1
∵0≤a≤2

2

，∴1≤MN≤2．
故答案为：1≤MN≤2．

点评：关键是将空间两点间的距离表示成a的函数，进而转化成求函数最值的问题．