Question

阅读下面材料：根据两角和与差的余弦公式，有
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①-②得 cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ
令 α+β=A，α-β=B，有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的正弦公式，证明：sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

（2）若在△ABC的三个内角A，B，C，满足在cos2A-cos2B=1-cos2C试判断△ABC的形状．（提示：如需要可直接利用或参阅结论）

Answer 1

考点：类比推理

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）通过两角和与差的正弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，即可证明结果．
（2）由二倍角公式可得，（sinA）²+（sinC）²=（sinB）²，由正弦定理可得，c²+a²=b²，由勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形．

解答： 证明：（1）由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ②
由①+②得 sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ③
令α+β=A，α-β=B，有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

（2）由二倍角公式可得，（sinA）²+（sinC）²=（sinB）²
设角A，B，C的对边分别为a，b，c
由正弦定理可得，c²+a²=b²所以由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．

点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．