Question

已知等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，数列{b_n}满足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，则数列{b_n}前n项和的最大值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a₃=a₁q²=eb3=e¹⁸，a6=a1q5=eb6=e¹²，从而得到a_n=e^24-2n，b_n=24-2n，由此能求出{b_n}的前n项和S_n的最大值．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，
数列{b_n}满足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，
∴a₃=a₁q²=eb3=e¹⁸，
a6=a1q5=eb6=e¹²，
∴

a6

a3

=q³=

e12

e18

=e^-6，
解得q=e^-2，a₁=

a3

q2

=

e18

e-4

=e²²，
∴{a_n}的通项公式为an=e22•(e-2)n-1=e^24-2n，
∵数列{b_n}满足b_n=lna_n，
bn=lne24-2n=24-2n，
当n=12时，b_n=0
则当n≥12时，b_n＜0
∴{b_n}的前n项和S_n取最大值时，n=12，
∴S_n的最大值是S₁₂=

12

2

(b1+b12)=6（24-2+24-24）=132．
故答案为：132．

点评：本题考查数列的前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要注意对数函数性质的灵活运用．