题目内容
设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；
（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
解答：
解：（1）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，得2＜x＜4
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则￢p⇒￢q，且￢q?￢p，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A?B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，
则0＜a≤2，且3a≥4
∴实数a的取值范围是
≤a≤2．
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，得2＜x＜4
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则￢p⇒￢q，且￢q?￢p，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A?B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，
则0＜a≤2，且3a≥4
∴实数a的取值范围是
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点评：本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．
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