Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）在[0，1]上是增函数，若f（x）+f（x-

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）＜0，求x的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题考察函数性质的综合应用，由函数f（x）为奇函数得到函数在定义域[-1，1]内为增函数，然后由f（x）+f（x-

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）＜0得到x＜

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-x，再加上定义域的要求解出x范围即可．

解答： 解：函数f（x）为奇函数，则非f（0）=0，
又∵函数f（x）在[0，1]上是增函数，
∴函数f（x）在[-1，0]上是增函数，
∴函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
∵f（x）+f（x-

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）＜0，
∴f（x）＜-f（x-

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），
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）＜f（

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-x），
∵函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴

-1≤x≤1 -1≤ 1 2 -x≤1 x＜ 1 2 -x

解之得-

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≤x＜

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故x的取值范围为[-

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，

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）

点评：本题主考查抽象函数的周期性、对称性以及偶函数，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．本题容易忽略掉定义域要求产生错误，f（x）和f（

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-x）有意义要求-1≤x≤1且-1≤

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-x≤1．