Question

平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆上、下顶点分别为B₁，B₂．椭圆上异于于B₁，B₂两点的任一点P满足直线PB₁，PB₂的斜率之积等于-

1

4

，且椭圆的焦距为2

3

，直线y=kx+2与椭圆交于不同两点S，T．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求证：直线B₁S与直线B₂T的交点在一条定直线上，并求出这条定直线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）椭圆方程可化为：

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，设P（x，y），则

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，利用直线PB₁，PB₂的斜率之积等于-

1

4

，可得

y+b

x

•

y-b

x

=-

1

4

，即可求C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+2代入椭圆方程，取特殊直线，猜想出定直线，再证明结论即可．

解答： 解：（I）由已知B₁（0，b），B₂（0，-b），
∵椭圆的焦距为2

3

，
∴椭圆方程可化为：

x2

b2+3

+

y2

b2

=1
设P（x，y），则

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，
∵直线PB₁，PB₂的斜率之积等于-

1

4

，
∴

y+b

x

•

y-b

x

=-

1

4

，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1         …（4分）
（ II）

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，可得（1+4k²）x²+16kx+12=0，△＞0，可得k²＞

3

4

．
设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

．

取直线y=x+2与椭圆 

x2

4

+y2=1 交于两点S（-

6

5

，

4

5

），T（-2，0）
直线B₁S：y=

1

6

x+1，直线B₂T：y=-

1

2

x-1，两条直线的交点为Q₁（-3，

1

2

）
取直线y=-x+2与椭圆

x2

4

+y2=1交于两点S（

6

5

，

4

5

），T（2，0）
直线B₁S：y=-

1

6

x+1，直线B₂T：y=

1

2

x-1，两条直线的交点为Q₂（3，

1

2

）
若交点在一条直线上则此直线只能为l：y=

1

2

．
设直线直线B₁S与直线l：y=

1

2

交点为Q₀（x₀，y₀），直线B₂T与直线l：y=

1

2

交点为Q₀′（x₀′，y₀′），
直线B₁S：y=

y1-1

x1

+1，B₂T：y=

y2+1

x2

-1，
分别令y=

1

2

，可得Q₀（

1

2

•

x1

y1-1

，

1

2

），Q₀′（

3

2

•

x2

y2+1

，

1

2

），
∴x₀-x₀′=

1

2

••

x1

y1-1

-

3

2

•

x2

y2+1

=0
∴点Q₀（x₀，y₀）与Q₀′（x₀′，y₀′）重合，
∴交点在直线l：y=

1

2

上…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．