Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，S₁₁=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）当n为何值时，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a₃=24，S₁₁=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出S_n；
（Ⅲ）根据（2）求出的前n项和的公式得到S_n是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出S_n的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，∵a₃=24，S₁₁=0，
∴a₁+2d=24，a₁+55d=0，
解之得a₁=40，d=-8，∴a_n=48-8n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₁=40，a_n=48-8n，
∴S_n=

n(40+48-8n)

2

=-4n²+44n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）有，S_n=-4n²+44n=-4（n-5.5）²+121，
故当n=5或n=6时，S_n最大，且S_n的最大值为120．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，是一道中档题．