Question

9．已知向量$m=（{sinx-\sqrt{3}cosx，1}），n=（{sin（{\frac{π}{2}+x}），\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，若f（x）=m•n．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）己知△ABC的三内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=3，f$（{\frac{A}{2}+\frac{π}{12}}）=\frac{1}{2}$，sinC=2sinB，求A，c，b的值．

Answer 1

分析 （I）根据平面向量的数量积公式得出f（x）解析式，使用三角恒等变换化简，利用正弦函数的单调性列不等式解出；
（II）根据A的范围和f（$\frac{A}{2}+\frac{π}{12}$）计算A，利用正弦定理和余弦定理求出b，c．

解答 解：（I）f（x）=（sinx-$\sqrt{3}$cosx）sin（$\frac{π}{2}$+x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=（sinx-$\sqrt{3}$cosx）cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（II）∵f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
且-$\frac{π}{6}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．
∵sinC=2sinB，∴c=2b，
又a=3，由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+4{b}^{2}-9}{4{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=$\sqrt{3}$，∴c=2$\sqrt{3}$．
综上，A=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．