Question

4．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴、y轴上的点，且|AB|=1，若点P（1，$\frac{4}{3}}）$），则$|{\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}}$|的取值范围是（　　）

• A． [5，6]
• B． [5，7]
• C． [4，6]
• D． [6，9]

Answer 1

分析 设A（x，0），B（0，y）求出则$|{\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}}$|的模长表达式，根据距离公式的几何意义求出最值．

解答 解：设A（x，0），B（0，y），则$\overrightarrow{AP}$=（1-x，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（1，$\frac{4}{3}$-y），$\overrightarrow{OP}$=（1，$\frac{4}{3}$），
∴$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}$=（3-x，4-y），
∴|$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$，
∵|AB|=1，∴x²+y²=1，
∴$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$表示单位圆上的点到M（3，4）的距离，
∴$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$的最小值为|OM|-1=4，$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$的最大值为|OM|+1=6，
故选C．

点评 本题考查了平面向量的运算，属于中档题．