Question

已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求使

1

x

+

1

y

＞α恒成立的参数α的范围．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式

分析：要使

1

x

+

1

y

＞α恒成立，只要让

1

x

+

1

y

的最小值大于α即可．所以将x+2y=1带入

1

x

+

1

y

=

x+2y

x

+

x+2y

y

=1+

2y

x

+

x

y

+2≥3+2

2

，所以得到α＜3+2

2

，这样即求出了α的范围．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=1；
∴

1

x

+

1

y

=

x+2y

x

+

x+2y

y

=

2y

x

+

x

y

+3≥2

2

+3；
即

1

x

+

1

y

的最小值是2

2

+3；
∴α＜2

2

+3；
∴α的范围是（-∞，2

2

+3）．

点评：考查不等式恒成立问题，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0．