Question

17．如果函数f（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2x+asinx在区间[0，$\frac{π}{2}$]上递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{3}$]
• B． [-1，1]
• C． [-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． [-$\frac{4}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由求导公式和法则求出f′（x），由题意可得f′（x）≥0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，设t=cosx（0≤t≤1），化简得5-4t²+3at≥0，对t分t=0、0＜t≤1讨论，分离出参数a，运用函数的单调性求出最值，由恒成立求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意得，f′（x）=1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx，
∵函数f（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2x+asinx在区间[0，$\frac{π}{2}$]上递增，
∴函数f′（x）≥0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
则1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx≥0，即$\frac{5}{3}$-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx≥0，
设t=cosx（0≤t≤1），即有5-4t²+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立；
当0＜t≤1时，3a≥4t-$\frac{5}{t}$，
∵y=4t-$\frac{5}{t}$在（0，1]递增，∴t=1时，取得最大值-1，
即3a≥-1，解得a≥$-\frac{1}{3}$，
综上可得a的范围是[$-\frac{1}{3}，+∞$）．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题的转化，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．